概念：
欧拉回路：经过图中所有边恰好一次，并回到原点的路径

欧拉路径（ 欧拉通路）：经过图中所有边恰好一次的路径。

半欧拉图：存在欧拉通路，但不存在欧拉回路；
欧拉图:存在欧拉回路；

基图：有向图忽略所有边的方向，得到的无向图为有向图的基图。

性质及定理
无向图
定理1：
无向图G存在欧拉回路的充要条件是G中无奇数度数的节点。
判断半欧拉图的推论：
推论1：
1.无向图G 为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除两个顶点的度为奇数外，其余所有的顶点的度都为偶数。
2.G为欧拉图时， 所有点度数为偶数，或者只有2个点度数为奇数
有向图
定理2：
1.有向图为欧拉图，当且仅当G 的基图连通，且所有顶点的入度等于出度。
2.每个顶点入度等于出度；
或者只有1个点入度比出度小1, 从这点出发，只有1个点出度比入度小1，从这个点结束，其他点入度等于出度。

欧拉回路的判定：

1.无向图是否具有欧拉通路或回路的判定：
G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。
2. 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定
**D有欧拉通路：
D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。
(注意：这里说有向图连通，说的是有向图是弱连通图。即把有向图中的边变成无向边，只要该图连通，那么原有向图即是弱连通图。实际中可用并查集判断是否弱连通)