「JXOI2018」游戏 解题报告

[JXOI2018]游戏 传送门

题目背景

九条可怜是一个富有的女孩子。

题目描述

她长大以后创业了，开了一个公司。 但是管理公司是一个很累人的活，员工们经常背着可怜偷懒，可怜需要时不时对办公室进行检查。 可怜公司有 \(n\) 个办公室，办公室编号是 \(l\) 到 \(l+n-1\) ，可怜会事先制定一个顺序，按照这个顺序依次检查办公室。一开始的时候，所有办公室的员工都在偷懒，当她检查完编号是 \(i\) 的办公室时候，这个办公室的员工会认真工作，并且这个办公室的员工通知所有办公室编号是 \(i\) 的倍数的办公室，通知他们老板来了，让他们认真工作。因此，可怜检查完第 \(i\) 个办公室的时候，所有编号是 \(i\) 的倍数(包括 \(i\) )的办公室的员工会认真工作。 可怜发现了员工们通风报信的行为，她发现，对于每种不同的顺序 \(p\) ，都存在一个最小的 \(t(p)\) ，使得可怜按照这个顺序检查完前 \(t(p)\) 个办公室之后，所有的办公室都会开始认真工作。她把这个 \(t(p)\) 定义为 \(p\) 的检查时间。 可怜想知道所有 \(t(p)\) 的和。 但是这个结果可能很大，她想知道和对 \(10^9+7\) 取模后的结果。

输入输出格式

输入格式

第一行输入两个整数 \(l,r\) 表示编号范围，题目中的 \(n\) 就是 \(r-l+1\) 。

输出格式

一个整数，表示所有 \(t(p)\) 的和。

输入输出样例

输入样例

2 4

输出样例

16

solution

之前我就想到\(cnt\)个了

\(cnt\)最少需要的个数

但是我题意理解错了，我以为ta就是下标耶。。

结果是数，ta不是说的下标都嘛。。

然后后面就比较好想了

\[ans=\sum^{n}_{i=cnt}i×(i-1)!×cnt×A_{n-cnt}^{n-i} \]

就是遍历\(i=t(p)\)再乘上可能的方案数

由于\(t(p)\)是最后的，所以第\(t(p)\)个必须是\(cnt\)个关键字之一，方案数\(cnt\)

剩下的\(i-1\)个数排列为\((i-1)!\)

剩下后面的数排列\(A_{n-cnt}^{n-i}\)

总的方案数就是\((i-1)!×cnt×A_{n-cnt}^{n-i}\)

CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
const ll p=1e9+7,N=1e7+2;
ll l,r,cnt,vis[N],ans,n,fac[N],inv[N];
ll qpow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

ll A(ll n,ll m){
	return fac[n]*inv[n-m]%p;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	for(ll i=l;i<=r;i++){
		if(!vis[i]){
			cnt++;
			for(ll j=i;j<=r;j+=i){
				vis[j]=1;
			}
		}
	}
	n=r-l+1;
	fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<=r;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
	}
	inv[r]=qpow(fac[r],p-2);
	for(ll i=r-1;i>=0;i--){
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;
	}
	for(ll i=cnt;i<=n;i++){
		ans+=i%p*fac[i-1]%p*cnt%p*A(n-cnt,n-i)%p;
	}
	printf("%lld",ans%p);
	return 0;
}

完结撒花❀

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