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【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论(25):幂级数(补充知识)

2021-11-19 9:23:44

目录

  • 前言
  • 往期文章
  • 幂级数
    • 一、函数项级数的概念
      • 定义:(函数项)无穷级数
    • 幂级数及其收敛性
      • 幂级数
      • 定理1(阿贝尔定理)
      • 推论
      • 定理2
  • 结语

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前言

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文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
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幂级数

一、函数项级数的概念

定义:(函数项)无穷级数

如果给定一个定义在区间 I I I上的函数列

u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , u 3 ( x ) , . . . , u n ( x ) , . . . , u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),..., u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...,

那么由这函数列所构成的表达式

u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . u_1(x) + u_2(x) + u_3(x) + ... + u_n(x) + ... u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...

称为定义在区间 I I I上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数


对于每一个确定的值 x 0 ∈ I x_0\in I x0I,函数项级数成为常数项级数

u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + . . . + u n ( x 0 ) + . . . u_1(x_0) + u_2(x_0) + u_3(x_0) + ... + u_n(x_0) + ... u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+...+un(x0)+...

这个级数可能收敛,也可能发散

如果这个级数收敛,就称点 x 0 x_0 x0是函数项级数的收敛点

如果这个级数发散,就称点 x 0 x_0 x0是函数项级数的发散点

函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域

幂级数及其收敛性

幂级数

各项都是常数乘以幂函数的函数项级数,即为幂级数,形式为

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . . \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n + .... n=0anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+....

其中常数 a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . a_0,a_1,a_2,...,a_n,... a0,a1,a2,...,an,...叫做幂级数的系数

定理1(阿贝尔定理)

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推论

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定理2

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结语

说明:

  • 参考于 课本《高等数学》
  • 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助,如有错误欢迎小伙伴指正

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